Ádám, az első zenei zsenitől a mai temperált hangrendszerig VI.

 

A pithagoraszi hangrendszer I.

 

Visszautalva a Ádám, az első zenei zseni című fejezet kitalált figurájára, Ádámra: bárki eljuthatott az 1-, vagy többhúrú, rezonálótesttel is ellátott primitív hangszerig.

 

A következő fontos felismerés az lehetett, hogy a fent ismertetett felharmonikus-arányok hangjai közvetlenül is megjelennek a húron, ha bizonyos helyeken pöcköket, érintőket teszünk alá (vagy fölé). Ennek ékes bizonyítéka a monochord nevű hangszer, amely nagy valószínűséggel egyidős az emberiséggel. A szó szabad fordításban egyhúrost jelent.

 

Az alábbi kép egy monochord, amely ősi hangszert a több évezredes zenei fejlődés ma már oktatási segédeszközzé fokozta le. A monochordnál látható, többségében fekete érintők a hangközarányok szempontjából fontos helyeken helyezkednek el. Jól látható, hogy az érintők (felső kép) szemléltetés végett át is helyezhetők...

 

Monochord

 

Monochord 2.

 

...és mindez azt bizonyítja, hogy a mai modern gitárok is (nagyjából) ugyanezt az akusztikai elvet követik, azaz a húr alá lett építve a gitár és nem fordítva.

 

Melyek is ezek a fontos hangközarányok?

Mivel a húr közepén kaptuk meg az 1. oktávot, a legfontosabb hangköz, az oktáv pontosan a húr közepe alatt lesz. Ez a hangköz tehát a húrhosszt elfelezi (bármekkora legyen is az). Sőt, matematikailag is fel tudjuk írni ezt a viszonyt:

 

az oktáv és alaphangja közti frekvenciaarány 2:1.

 

Sőt, szorzószáma is van neki: 2x. Ez azt jelenti, hogy ha képzeletbeli húrunk 100 Hz volna, akkor annak oktávja 200 Hz lenne, mert 100 x 2 = 200.

 

A következő fontos konszonancia a húr harmadainál található, ez a kvint:

 

frekvenciaaránya 3:2, szorzószáma: 1,5x.

 

Ha képzeletbeli húrunk 100 Hz volna, akkor annak kvintje 150 Hz lenne, mert 100 x 1,5 = 150.

 

(A további hangközarányok matematikai részletességgel a Mi is az zene? - I. rész melléklete - A hangközök című fejezetben vannak kidolgozva.)

 

A pithagoraszi hangrendszer az Ádám által természetes úton felfedezett, a lehető legkonszonánsabb hangzású hangközre, a kvintlépésekre próbálta alapozni a rendszerépítést. Ha ezt az elvet manapság alkalmazni szeretnénk, akkor a mai rendszerbe illesztve a következő sorozatot kapnánk C alaphangról kiindulva:

 

C - G - D - A - E - H - Fisz - Cisz - Gisz - Disz - Aisz - Eisz - (Hisz)

 

Ez 12 db kvint lépés. Tapasztaltabbaknak már feltűnt a szabály: ez a kvintkör hangjai felfelé (itt jobbra kezdve):

 

A kvint-kvartkör

 

A legtapasztaltabbak egyúttal azt is megállapíthatták, hogy a kvintlépésekkel további skálarendszereket is meghatároztunk:

A rendszerszintű probléma már hangok értékeinek oszlopba rendezésekor jelentkezik, ugyanis a hangrendszert alkotó oktáv-, és kvinthangok nem fognak egyezni egymással. Hiszen C alaphangról indított 8 oktávlépéssel...

 

C - C - C - C - C - C - C - C - C

 

...zeneileg ugyanarra a hangra kéne érkeznünk, mint ahol a 13. kvint van. Sajnos ez nincs így és ezt a matematika is képes bizonyítani. Az alábbi táblázatban:

Pithagoraszi komma képlete 1.

 

Az oszlopok értékeinek különbsége:

 

12974,634 / 12800 = 1,0136432

 

Ellenőrzésképpen fogalmazzuk meg ezt az oszlopos számítást kissé elvontabb formában, a hatványozás segítségével, amelynek végeredménye ugyanaz lesz:

 

Pithagoraszi komma képlete 2.

 

Ez az érték centben kifejezve 23,46, ami a temperált félhang majdnem 1/4 része. A fenti kvint hangsor 13. kvintlépése (Hisz) és a 8. oktáv (C) közti hang között tehát ennyi az akusztikai különbség. Az eltérés neve pithagoraszi komma. Vegyük észre, hogy ez az érték a minden egyes kvintlépésnél folyamatosan fellépő akusztikai különbség összege. Tehát mivel 12 kvintlépésünk van, az egy kvintlépésre eső akusztikai különbség: 23,46 / 12 = 1,955 cent. Ez adódik tehát össze 1 pithagoraszi kommává.

 

A pithagoraszi komma kiküszöbölése a rendszer alapelveiből következik. Mivel feltehetően a legfontosabb a kvintek tisztasága, ezért a kvintkört felül csakis úgy tudjuk bezárni, ha valamelyik kvintet a komma értékével csökkentjük. Ez általában a kvintsorozat felső részén, a 8.-9. kvintlépés környékén történik.

 

A rendszerben azonban további anomáliák is fellelhetők:

Mi következik mindebből?

A probléma mélysége függ a zenei megvalósítástól, azaz minél egyszerűbb a zene, annál kevésbé döntő a kommák jelensége. Az akusztikai eltérések a bonyolultabb, polifonikus zenék esetében kezdenek kijönni, még pedig az eredeti hangolástól egyre távolabb eső hangnemekben. Ha a C hangra alapuló hangolást vesszük alapértelmezettnek, akkor a pithagoraszi hangrendszer kiválóan működik az alábbi 6 dúr és 3 moll hangnemben: