Ádám, az első zenei zsenitől a mai temperált hangrendszerig VIII.

 

 A pithagoraszi hangrendszer III.

 

Skálaalkotás a pithagoraszi hangrendszer alapján

(közönséges törtekkel)

 

Bevezetés

Skálaépítkezés

 

Bevezetés

 

Az előző fejezet (A pithagoraszi hangrendszer II.) már felvázolta és konkrétan be is mutatta, hogy milyen skálaalkotási módszerrel lett felépítve az emberiség egyik első, komolyabb hangrendszere. A módszer egyetlen gyenge pontja, hogy modern eszközökkel tettük ezt meg, nevezetesen tizedes törtekkel, amelyeket az ógörögök még nem ismertek. Ők egyedül számarányokban, azaz közönséges törtekben gondolkodtak. Ebben a fejezetben tehát a megismert és bevált skálaalkotási módszert ugyanolyan módon fogjuk felhasználni, csak közönséges törtek segítségével.

 

A módszer lényege, hogy a skálaalkotás során a (több oktávban) keletkezett hangokat 1 oktávba kell sűrítenünk, hiszen a skála a hangok valamilyen elv szerinti lépcsőzetes elrendezését jelenti 1 oktávon belül.

 

Skálaépítkezés

 

Emlékezzünk vissza arra, hogy ha vesszük a kvint 3:2 frekvenciaarányát, akkor ezáltal képesek vagyunk meghatározni 12 különböző zenei hangot. Ezzel egy rémületesen hosszú kvintlépést modelleztünk le. Tehát nézzük meg a 12 kvintlépést a zongora klaviatúráján jelképes C hangról indulva (a középső, négyszög jelű C hang most nem lényeges):

 

C - G - D - A - E - H - Fisz - Cisz - Gisz - Disz - Aisz - Eisz - (Hisz)

 

12 kvintlépés zongorán

 

De ha a módszert modern szemléletben meg kívánjuk érteni, akkor láthatóan most sem tudunk tenni mást, mint ősrégi módszerek felvázolásakor modern eszközöket is  bevetünk. Ilyen például:

...mert nélkülük az érthetetlenséget kockáztatjuk. Itt fontos hangsúlyozni, hogy magától Pithagorasztól mű nem maradt fent és csak az utókor (elsőként tanítványai) jegyezték le tanításait. Az alábbi levezetés tehát a valószínűségek és szakmai vélekedések célirányos keveréke.

 

Pithagorasz a hangközök számításánál az oktáv és a kvint 2/3-os arányából indult ki. Mivel a frekvencia és a hullámhossz fordított arányban állnak egymással, ezért ha az alaphangot (C) megszorozzuk a frekvenciaarány reciprokával (3/2), akkor megkapjuk az alaphang utáni 1. kvintet (G). Ezt a sort folytatva (3/2x), majd mindig elosztva a megfelelő oktávtávolság arányával (/2x) megkapjuk a 12 hangú hangrendszert.

 

Kezdjük a C kezdőhangról:

  1. C

  2. G = 3/2

  3. D - (3/22)/2 = 9/8

  4. A - (3/23)/2 = 27/16

  5. E - (3/24)/22 = 81/64

  6. H - (3/25)/23 = 243/128

  7. Fisz - (3/26)/23 = 729/512

  8. Cisz - (3/27)/24 = 256/243

  9. Gisz - (3/28)/24 = 128/81

  10. Disz - (3/29)/25 = 32/27

  11. Aisz - (3/210)/25 = 16/9

  12. Eisz - (3/211)/26 = 177147/131072

A 12. lépés piros színnel lett jelölve, mert belefutottunk egy olyan problémába, amellyel nagy valószínűséggel Pithagorasz is szembesült. Nevezetesen, ennél a lépésnél 1 veszett formátumú aránypár jött ki. A felismerés pillanatában bizonyára maga a mester is felvonta a szemöldökét. Az aránypárt akárhogy húzzuk-vonjuk (azaz egyszerűsítjük), nem lesz ennél sokkal szebb, az eredmény tehát bár nem matematikai zsákutca, de zeneileg értelmezhetetlen.

 

De honnan tudjuk, hogy nem zsákutca?

Onnan, hogy ha ezt az arányt (177147/131072) és az eredeti C-Eisz/F arányt (4/3) külön-külön elosztjuk, akkor nagyjából ugyanaz lesz a végeredmény:

  • 177147 / 131072 = 1,3515...

  • 4 / 3 = 1,333...

Most már csak azt kell tisztáznunk, hogy honnan toppant elénk a kvart tiszta frekvenciaaránya (4/3). Nos, innentől rámenős Poirot módján megpróbáljuk rekonstruálni az esetet, hangsúlyozva azonban, hogy mindez fikció, ám a logika szabályai szerint a múltban nagyjából így kellett történnie.

Az emberi fül az ókorban is fontos mérőműszer volt. Pithagorasz valószínűleg nem 12, hanem csak 7 hangból álló skálával kísérletezett (diatonikus heptatónia, heptaton skála). A skála első 6 hangját már megtalálta (az első 6 kvintlépés 1 oktávba transzponálva) és matematikailag nemcsak látta, hanem zenei füllel hallotta is az F hang helyén lévő hézagot:

 

C - D - E - ? - G - A - H

 

Mivel a hangok felfelé építésekor nem járt további sikerrel, lefelé kísérletezett és errefelé sokkal könnyebb dolga volt.

 

A kvartot az oktáv és kvint hányadosaként találta meg:

 

2/1 : 3/2 = 2/1 * 2/3 = 4/3

 

Ez egyébként nyilvánvalóan azt is jelenti, hogy kvart és kvint szorzata oktáv hangközt alkot. Ám a sejtosztódás tovább folytatható. Az egészhang felírható a kvart és kvint hányadosaként...

 

3/2 : 4/3 = 3/2 * 3/4 = 9/8

 

...míg a félhang (görögül limma) 1 kvart 2 egészhang hányadosaként:

4/3 : (9/8 * 9/8) = 4/3 : 81/64 = 4/3 * 64/81 = 256/243

A hangok ilyetén, lefelé történő osztása matematikai bizonyíték lehetett Pithagorasz számára elmélete helyessége felől, hiszen a felfelé történő kvintlépésekkel és az 1 oktávos letranszponálással is ugyanezen eredmények jöttek ki.

 

Most nézzük meg az általa felállított hangrendszer belső összefüggéseit táblázat formátumában, amelyben:

  1. a keletkezett zenei hangok (klasszikus zeneelméleti elnevezésben),

  2. a hangok hangközaránya a kezdő, C hanghoz képest,

  3. a hangok hangközaránya 2 szomszédos hang között.

A pithagoraszi hangrendszer - 7 hang

 

Természetesen a rendszerhez hozzáilleszthetjük a még fel nem használt 5 hangot:

 

A pithagoraszi hangrendszer - 12 hang

 

A rendszerben azonban megjelennek további anomáliák is. Emlékezzünk vissza a legelsőre: a Pithagoraszi hangrendszer I. című fejezetben felmerülő pithagoraszi komma jelenségére. További érdekesség, hogy ez a komma fellép az egészhangból álló (9/8) skálánál is, mert...

 

(9/8)6 / 2 = 1,01364

 

...és ez az érték egyenlő az említett fejezetben kiszámolt értékkel.

 

A következő anomália, hogy a rendszeren belüli 2 félhang (256/243 * 256/243) nem egyenlő 1 egészhanggal (9/8). A 2 hangköz ilyetén különbsége:

 

9/8 osztva 256/243 = 9/8 * 243/256 = 2187/2048

 

A különbség neve aptome (kivágás). Ez hallásügyileg főként akkor lesz tapasztalható, ha a rendszerhez hozzávesszük a maradék 5 hangot, mert az E - F között lévő félhang (256/243) és az F - Fisz között keletkezett félhang (2187/2048) nem lesz ugyanaz.

 

Továbbá a pithagoraszi nagyterc (81/64) és a rendszerben keletkező, felhangsori nagyterc (5/4) között hallható eltérés mutatkozik, amelynek mértéke 81/80 és amely szüntonikus (didümoszi) komma néven vonult be a zenetörténetbe. Az ezzel kapcsolatos számítás a következő:

  • 81/80 = 1,0125

  • 81/64 = 1,265625

  • 5/4 = 1,25

  • 1,265625 / 1,25 = 1,0125

Ráadásként ugyanilyen, azaz szüntonikus (didümoszi) komma mértékben szűk a rendszerben keletkező kisterc hangköz. Később a középkorban éppen emiatt, a rosszul hangzó tercek okán igyekeztek leselejtezni a pithagoraszi hangrendszert és lett használatos a szintén ókori gyökerű, de továbbfejlesztett harmonikus felosztás hangrendszere. Később azonban látni fogjuk, hogy a középhangos temperálás múltidéző módon mégis visszanyúl a pithagoraszi kvintépítkezés alapelvéhez.

 

Az ismertetett anomáliák a pithagoraszi hangrendszerben felhasználható hangnemek számát szűkítik le, hiszen a kommák, az akusztikai eltérések jól érzékelhető zenei hamisságot okoznak. Emiatt a pithagoraszi hangrendszer csakis a következő hangnemekben működőképes, ám ezekben korlátlan modulálási lehetőségben:

A keletkezett diatonikus skála azonban...

 

A pithagoraszi hangrendszer - 7 hang

 

...nyilvánvalóan nemcsak 1 vagy 2, hanem 7, egymástól különböző skálaszerkezetet határoz meg. Ezt már az ógörögök is észrevették és modus néven alkalmazták is. A modusok meghatározását bonyolítja az a tény, hogy az ógörögök a skálaszerkezeteket még hangmagasságban lefelé határozták meg. (Később ez egy híres fordítási hibához is vezetett, amelyről részletesen írok az Alapskálák eredete című fejezetcsomagban.)

 

Ezt figyelembe véve az ógörög modusok így néztek ki:

Láthatjuk, hogy a mai, modernebb rendszerben már semmi sem azonos a  régi skálameghatározással, hiszen mai (klasszikus zeneelméleti) fogalmaink szerint az ismertetett skálaszerkezeteket az alábbi módon határozzuk meg:

Pontosan ilyen szintű zavartságot eredményez néhány ezer év következetlen és sokszor pontatlanul lejegyzett zeneelmélete.